컴퓨터 구조 중 CPU 내부에서 산술/논리 연산장치(ALU, Arithmetic Logic Unit)으로 연산이 이루어진다.
ALU는 가산기로 이루어져 있으며 모든 연산을 2진수로 처리한다.
가산기로 이루어져 있다보니 덧셈을 기반으로 사칙연산이 이루어진다.
이러한 이유로 보수는 음의 정수를 위해 고안이된 것이다.
[n진수, n의 보수법]
n진수는 n의 보수법으로 나타낼 수 있다
2진수는 2의 보수법, 10진수는 10의 보수법
- n의 보수법은 각 자리의 숫자 + X를 통해 n을 만들수 있는 수를 찾는다고 생각하면 된다
- 예를들어, 10진수에서 37의 10의 보수는
1) 일의 자리 7을 10으로 만들기 위해서는 3이 필요하며 3을 더하면 10이되며 올림이 발생한다
2) 일의 자리에서 올림이 발생했으므로 3 + 1 = 4가 되고 4를 10으로 만들수 있는 숫자는 6이된며 여기서 발생한 올림은 버린다
3) 이렇게 10진수에서 37의 10의 보수 63을 찾을 수 있다 - 여기서 10진수에서 37의 9의 보수를 찾아보자
1) 각 자릿수를 9로 만들수 있는 수를 찾으면 된다
2) 일의 자리가 7이므로 9를 만들수 있는 수는 2가 된다
3) 십의 자리가 3이므로 9를 만들수 있는 수는 6이된다
4) 따라서 37의 9의 보수는 62가 된다
5) 여기서 알수 있는건 37의 10의 보수는 9의 보수 +1과 같다는 것이다
6) 따라서 10의 보수는 9의 보수 +1과 같다를 알 수 있다 - 위 예시를 통해서 컴퓨터의 사칙연산을 위한 2진수의 2의 보수는 1의 보수 +1을 통해 구할 수 있다는 것을 찾을 수 있다
- 이것을 바탕으로 -127을 계산 해보면
1) 127 → 01111111(2) ⇒ 여기서 8번째 위치에 있는 숫자 0은 MSB로 최상위 비트이며 부호를 나타낸다(0:양수 / 1:음수)
2) 1의 보수를 취하면 → 00000000(2) ⇒ 여기서 1의 보수는 11111111과 XOR연산을 통해 얻을수 있다
3) 구하고 싶은 건 1의 보수가 아니라 2의 보수이다
4) 2의 보수는 1의 보수 +1이므로 00000001(2)가 된다
5) 마지막으로 음수이기 때문에 MSB를 1로 표기해주면 10000001(2)이 된다
6) 따라서, -127은 100000001(2)이 된다 - 연산시 알아야할 추가적인 사항으로는
- 1의 보수는 carry(올림) 발생 시 +1
- 2의 보수는 carry(올림) 발생 시 버림
- 두 보수 모두 carry(올림)이 발생하지 않는 경우에는 다시 보수를 취해준다
10 - 7 = 3
- 연산에 사용될 숫자를 2진수로 변환
- 10 → 1010(2)
- 7 → 0111(2)
- 연산을 하면 10 - 7은 10 + (-7)과 같은 연산이고 1010(2) - 0111(2) = 1010(2) + (- 0111(2)) 이 된다
- -0111(2)는 음수이므로 보수를 통해 계산해주면
- 0111(2)의 1의 보수는 1000(2)이고
- 2의 보수는 1의 보수 +1이므로 1000(2) +1 = 1001(2)이 된다
- 이제 덧샘을 계산하면
- 1010(2) + 1001(2) = 10011(2)가 되며 1+1 = 2가되어 0으로 표기되고 1 carry(올림)가 발생했다
- 위에서 2의 보수는 carry(올림)이 발생하면 버리기로 했으므로
- 결과적으로 계산은 1010(1) + 1001(2) = 0011(2) 👉 10진수로 바꾸면 3이 되어서 뺄샘이 정확히 된 것을 알 수 있다
7 - 10 = -3
- 연산에 사용될 숫자를 2진수로 변환
- 7 → 0111(2)
- 10 → 1010(2)
- 연산을 하면 7 - 10은 7 + (-10)과 같은 연산이고 0111(2) - 1010(2) = 0111(2) + (- 1010(2)) 이 된다
- -1010(2)는 음수이므로 보수를 통해 계산해주면
- 1010(2)의 1의 보수는 0101(2)이고 이것을 2의 보수로 바꾸어 주면
- 2의 보수는 1의 보수 +1이므로 0101(2) + 1 = 0110(2)이 된다
- 0111(2) + 0110(2) = 1101(2)가 되고 carry(올림)이 발생하지 않았다
- carry(올림)이 발생하지 않으면 구한 수의 보수를 다시 구한다라고 했으므로
- 1101(2)의 1의 보수는 0010(2)가 되고 이것을 2의 보수로 바꾸어주면
- 2의 보수는 1의 보수 +1이므로 0010(2) + 1 = 0011(2) 가 되어서 결론적으로 -0011(2) 가 됨을 알 수 있다